Los gemelos pitagóricos

   En mayo de 2003 me tocó reseñar para La Nación el libro El hombre que confundió a su mujer con un sombrero, de Oliver Sacks (Ed. Anagrama). Dentro de ese conjunto extraordinario de relatos clínicos uno de los más asombrosos, para cualquier matemático, es “Los Gemelos”, que revela una fuente de evidencia insospechada, “biológica”, o más precisamente “neurofisiológica”, para la formulación de una pregunta crítica y todavía no resuelta en la historia de las matemáticas sobre los números primos. En estado de “conmoción gnoseológica” escribí un mail general a los matemáticos de la Facultad de Ciencias Exactas, en donde extracté las observaciones principales de Sacks y al que agregué al final, algo temerariamente, un par de conjeturas, con el propósito, sobre todo, de escuchar otras más acertadas. Por los felices designios del comando forward el mail se propagó a otras universidades del mundo y recibí muchísimas respuestas, de las que transcribo algunas al final.

   Los Gemelos habían sido diagnosticados diversamente como autistas, psicóticos o gravemente retardados. En el año 1966, cuando Sacks empieza a observarlos, la mayoría de los informes llegaban a la conclusión de que, como sucede con los “sabios idiotas”, no había nada especial en ellos, salvo su notable memoria documental para recordar los detalles visuales más nimios de su propia existencia, y el uso del algoritmo calendárico inconsciente que los llevó a la televisión, y que les permitía decir inmediatamente en qué día de la semana caía una fecha del futuro o el pasado lejanos.
   “La realidad”, dice Sacks, “es mucho más extraña, mucho más compleja de lo que sugiere cualquiera de esos estudios, pero hay que dejar a un lado el ansia de delimitar y demostrar y llegar a conocerlos, observarlos, sincera, tranquilamente, con una imparcialidad fenomenológica plena y comprensiva.”

  Transcribo en glosas su descripción de naturalista:
“Los Gemelos piden que se les de una fecha cualquiera de los cuarenta mil años futuros y casi instantáneamente determinan a qué día de la semana corresponde. Se puede apreciar, aunque no suele mencionarse en los informes, que mueven los ojos y los fijan de un modo peculiar cuando hacen esto... como si estuvieran desplegando, o escudriñando, un paisaje interior, un calendario mental. Es una expresión de visualización intensa, aunque se ha creído que lo que hacen es un puro cálculo. La memoria que tienen para los números es excepcional. Repiten un número de tres, de  treinta, o de trescientas cifras, con la misma facilidad. Esto se ha atribuido también a un método.
   Pero cuando uno pasa a examinar su capacidad de cálculo (el plato fuerte típico de los calculistas y prodigios aritméticos), resulta que lo hacen asombrosamente mal, tan mal como podría esperarse de su coeficiente intelectual de sesenta. No son capaces de hacer sumas y restas simples, y ni siquiera pueden entender qué significa la multiplicación y la división.
   Se ha deducido y aceptado, sin ninguna base prácticamente, que lo que opera no es en modo alguno la memoria, sino que hay un algoritmo inconsciente que es el que se utiliza para los cálculos calendáricos. Steven Smith, en su obra The Great Mental Calculators (1983), comenta: “Opera aquí algo intrigante aunque corriente: la misteriosa capacidad humana para formar algoritmos inconscientes basándose en ejemplos.”
    Si éste fuese el principio y fin del asunto, podría en realidad considerarse algo ordinario, sin el menor misterio, pues el cálculo de algoritmos, que puede realizarse perfectamente mediante una máquina, es en el fondo mecánico y pertenece a la esfera de los “problemas”, pero no de los “misterios”.
   Y sin embargo, hay en sus “trucos” una cualidad que sorprende. Pueden detallar el tiempo meteorológico y los acontecimientos de cualquier día de sus vidas... cualquier día, a partir, aproximadamente, de los cuatro años de edad.  Su forma de hablar es infantil, detallada, sin emoción. Se les da una fecha, giran los ojos un momento y luego los fijan y con una voz lisa y monótona cuentan qué tiempo hizo, los acontecimientos políticos de los que hubiesen oído hablar, y los hechos de sus propias vidas... que suele incluir la angustia dolorosa y conmovedora de la infancia, el desprecio, las burlas, las aflicciones que soportaban, pero todo expuesto en un tono invariable, sin un ápice de emoción o inflexión personal.
   Lo que hay que subrayar es la magnitud de la memoria de los Gemelos, su amplitud aparentemente ilimitada. Si se les pregunta cómo pueden retener tanto en la cabeza (un número de trescientas cifras, o el trillón de acontecimientos de cuatro décadas) ellos dicen con toda sencillez: “Lo vemos”. Ese visualizar  de extraordinaria inmensidad y de fidelidad perfecta parece ser la clave de todo el asunto, una capacidad fisiológica innata de su inteligencia, que tiene ciertas analogías con el modo de “ver” del famoso paciente que describe Luria en “La mente de un mnemotécnico”.
    No hay duda alguna de que los Gemelos disponen de un panorama prodigioso, una especie de paisaje o de fisonomía de todo lo que han oído o visto o pensado o hecho a lo largo de su vida, y que con un pestañeo, visible desde afuera como la operación de girar los ojos y fijarlos, son capaces de recuperar y “ver” casi cualquier cosa que se encuentre en ese panorama.
   Esta capacidad de memoria es sumamente rara, pero de ningún modo única. ¿Hay entonces en los Gemelos algo que tenga un interés más hondo?”

  En este punto Sacks describe su primer contacto con los poderes “naturales” de los Gemelos.
   “Se cayó de la mesa una caja de cerillas y su contenido se esparció por el suelo. “Ciento once” gritaron ambos simultáneamente, y luego en un murmullo John dijo “Treinta y siete”. Michael repitió esto, John lo dijo por tercera vez y calló. Conté las cerillas (me llevó un rato) y había 111.
   --¿Cómo pueden contar tan de prisa? –pregunté.
   --Nosotros no contamos –dijeron-. Nosotros vimos las 111.
   --¿Y por qué murmuraron “37” y lo repitieron tres veces?
   --37, 37, 37, 111 –dijeron al unísono.
   El que viesen la “111-idad” en un relampagueo era extraordinario, pero quizá no más extraordinario que el oído absoluto de un concertista, una especie de tono absoluto  para los números. Pero luego habían descompuesto el número en tres partes iguales, sin saber siquiera lo que eran los factores, sin saber qué era multiplicar y dividir.
   --¿Cómo hicieron ustedes eso? –dije con cierta ansiedad.
   Ellos indicaron, lo mejor que pudieron, que no lo habían “hecho”, sino que lo habían visto, que el número se había disgregado frente a ellos por decisión propia, una especie de fisión numérica espontánea. Parecía sorprenderlos mi sorpresa... como si yo fuese el ciego en un cierto sentido.
   ¿Era posible que pudieran también “ver” las propiedades, no de un modo conceptual y abstracto, sino como cualidades sentidas, sensoriales, de una forma directa y concreta? Si podían ver “111-idad” de una ojeada, ¿no podrían esos poderes ver también de una ojeada (reconocer, relacionar, comparar, de un modo exclusivamente sensorial y no intelectual) constelaciones y formaciones complejísimas de números? Me recordaba el Funes de Borges: “Nosotros, de un vistazo, percibimos tres copas en una mesa; Funes todos los vástagos y racimos y frutos que comprende una parra... No sé cuántas estrellas veía en el cielo.”
   ¿Podían los Gemelos ver también quizá en su pensamiento una “parra” numérica, con todas las hojas-números, los zarcillos-números, los frutos-números que la componían?”

   Sacks describe a continuación una segunda escena reveladora, que presenció por casualidad.
   “Estaban los dos sentados en un rincón, sonrientes, una sonrisa confidencial y misteriosa, que yo no les había visto nunca, gozando de la extraña paz y el extraño placer del que parecían disfrutar. Me acerqué silenciosamente para no molestarlos. Parecían encerrados en un singular diálogo puramente numérico. John decía un número de seis cifras. Michael escuchaba el número, asentía, sonreía y parecía saborearlo. Luego él decía a su vez otro número de seis cifras y entonces era John el que lo escuchaba y lo consideraba muy detenidamente. Parecían dos entendidos en vinos, compartiendo valoraciones exóticas... Quizá se tratase de algún juego, pero había una seriedad y una concentración, una especie de profundidad serena y meditativa casi sagrada. Me limité a anotar los números que iban diciendo, que evidentemente les proporcionaban tanto gozo y que ellos “contemplaban” en comunión.”

   De regreso en su casa, Sacks verifica en uno de sus libros de matemática que su intuición sobre las cifras que había anotado era correcta: todos los números que intercambiaban los Gemelos eran números primos.  Al día siguiente decide llevar a la visita el libro.
   “Los encontré encerrados en su comunión numérica, como la vez anterior... al cabo de unos minutos decidí incorporarme al juego y aventuré un primo de ocho cifras. Hubo una larga pausa (debió durar medio minuto o más) y luego súbita y simultáneamente sonrieron los dos. Habían visto de pronto, tras un proceso interno incomprensible, que mi número de ocho cifras era un número primo... Se apartaron un poco, para dejarme sitio: un nuevo jugador, un tercero en su mundo. Después John se pasó un buen rato pensando (debieron ser lo menos cinco minutos) y luego dijo un número de nueve cifras. Michael respondió con otra cifra semejante y yo por mi parte, tras un vistazo subrepticio al libro, añadí mi propia aportación, un tanto deshonesta. Un número primo de diez cifras que busqué en el libro. Volvieron a quedarse callados, inmóviles, atónitos; y luego John, tras una prodigiosa contemplación interior formuló un número de doce cifras. Yo no tenía ningún medio de comprobarlo, porque mi libro no sobrepasaba los primos de diez cifras. Pero Michael sí, aunque debió tardar cinco minutos... Al cabo de una hora, los Gemelos estaban intercambiando primos de veinte cifras, o yo supongo al menos que eso eran, ya que no tenía ningún medio de comprobarlo. No existe ningún método simple para calcular primos de ese orden... y sin embargo los Gemelos estaban haciéndolo.

   “Yo creo”, concluye Sacks, “que los Gemelos, que tienen una sensibilidad extraordinaria para los números,  realmente los sienten en sí mismos, como “formas”, como “tonos”, como las formas multitudinarias que componen la naturaleza misma. No son calculadores y su enfoque de los números es icónico, conjuran extrañas escenas de números, habitan en ellas; vagan libremente por grandes paisajes de números. Los Gemelos, aunque retardados, oyen la sinfonía del mundo, pero la oyen enteramente en forma de números. No es sólo una “facultad” extraña, sino una sensibilidad armónica, aliada quizá con la música. Podríamos calificarla de sensibilidad “pitagórica” y lo extraño no es que exista sino que sea al parecer tan poco frecuente. Siempre se ha llamado a la matemática la reina de las ciencias y los matemáticos han considerado que el mundo está organizado, misteriosamente, por el poder del número. Los Gemelos viven exclusivamente en un mundo-pensamiento de números. Y sin embargo los números son para ellos, no sólo “cifras” sino significadores, cuyo “significando” es el mundo. No los consideran a la ligera, como hacen la mayoría de los calculistas. Son más bien contempladores serenos de los números... y los abordan con una actitud de reverencia y de sobrecogimiento. Los números son para ellos sagrados, éste es su modo de captar al Primer Compositor.”
   
   A continuación anota como postdata el comentario del matemático Israel Rosenfield, al ver su manuscrito:
“La capacidad para determinar los días de la semana a lo largo de un período de ochenta mil años parece apuntar a un algoritmo bastante simple. Se divide el número total de días entre “ahora” y “entonces” por siete. Si no queda resto, la fecha cae en el mismo día que ahora. Si el resto es uno, la fecha es un día después, y así sucesivamente. La aritmética modular es cíclica, consiste en pautas repetitivas. Puede que los Gemelos visualizasen esas pautas, bien en formas de gráficos de fácil construcción o de algún tipo de paisaje, como la espiral de enteros que aparece en “Concepts of modern mathematics” de Ian Stewart.
   Esto deja sin aclarar por qué los Gemelos se comunican en números primos. Pero la aritmética del calendario exige el primo siete. Si se piensa en la aritmética modular en general, la división modular da pautas cíclicas netas sólo si uno utiliza números primos. Como el número siete ayuda a los Gemelos a obtener las fechas, y en consecuencia los acontecimientos de días concretos de sus vidas, podrían buscar y reconocer en otros números pautas similares a las que son tan importantes para sus operaciones de recuerdo. Quizá sólo pueden visualizar las pautas primas... En suma, la aritmética modular les ayuda a recuperar su pasado, y en consecuencia las pautas creadas al utilizar esos cálculos (que sólo se dan en los primos) pueden adquirir para los Gemelos un significado especial.”

   Hasta aquí el relato de Sacks. La posibilidad de que los números primos puedan “verse” directamente como paisajes o formas geométricas especialmente gratas y la mención a la espiral de enteros en el libro de Stewart me hizo recordar un libro clásico de biología que consulté recientemente: On Growth and Form, de D´Arcy Thompson, que recobra la idea pitagórica (y aún más atrás, egipcia) de los “gnomons” para explicar las formas espiraladas de crecimiento en caracoles, cuernos, etc. D´Arcy Thompson recuerda la noción de “gnomon” con algunos ejemplos numéricos y geométricos.
   “Si añadimos a un cuadrado una porción en L, como la escuadra de un carpintero, la figura que resulta es otro cuadrado. La porción que se añade para obtener una figura similar a la dada se llama en griego gnomon. Euclides extiende el término para incluir el caso de cualquier paralelogramo y Hero de Alexandria define explícitamente el gnomon como la figura suplementaria que, añadida a una dada, da como resultado una figura similar. Quedan incluidos los números, considerados geométricamente. Los números pueden ser traducidos en formas, por medio de filas de puntos u otros signos, o en el patrón de un mosaico, de acuerdo con “la manera mística de Pitágoras, y la magia secreta de los números”.
   Por ejemplo, los números triangulares uno, tres, seis, diez, etc, tienen como gnomons a los números naturales. En efecto 3 – 1= 2,  6 - 3= 3,  10 – 6= 4, etc. De la misma manera, los números cuadrados tienen a los números impares como gnomons: 4 –1 =3,  9 – 4= 5,  16 – 9= 7.
   Hay otras figuras gnomónicas más curiosas: Si consideramos un rectángulo tal que los lados están en la relación 1/sq2 es obvio que al duplicarlo obtenemos una figura similar ya que 1/sq2 es igual que sq2/2. Así, cada mitad de la figura es ahora un gnomon de la otra.
   Un segundo ejemplo elegante está dado por el rectángulo cuyos lados están en la proporción “divina”, o “sección áurea”: 1/ ½ (√5 – 1) donde ½ (√5 – 1) es aproximadamente igual a 0, 618... El gnomon a este rectángulo es el cuadrado B construido en el lado más largo del rectángulo y así sucesivamente.

   D´Arcy Thompson utiliza el concepto de gnomon en la descripción del caracol Nautilius y otras formas orgánicas relacionadas al establecer su ley de crecimiento:
    “Es característico en el crecimiento de los cuernos, de los caracoles y de todas las otras formas orgánicas en los cuales pueda reconocerse una espiral equiangular que cada incremento sucesivo de crecimiento es similar y está similarmente magnificado y situado con respecto a su predecesor, y es en consecuencia un gnomon a la estructura entera preexistente. Vemos que las sucesivas cámaras del caracol Nautilius (y lo mismo ocurre con cada nuevo incremento del Operculum de un gastrópodo o del colmillo del elefante) tiene su característica principal descrita de una vez y su forma explicada por la simple proposición de que constituye un gnomon a la totalidad de la estructura previamente existente.”
 Hasta aquí D´Arcy Thompson.

   Del mismo modo que los pitagóricos concibieron geométricamente los números “triangulares” y los números “cuadrados”, la pregunta más inmediata es qué tipo de forma visual “especialmente grata” podría asociarse a los números primos. Pero quizá también, en el proceso de los Gemelos al  reconocer a un número como primo, opere un principio “gnomónico” que tenga que ver con el modo en que naturalmente, “biológicamente” se registran (o inscriben) los conceptos numéricos en el cerebro. Los gnomons (respecto a la suma) de los primeros números primos aparecen (por ejemplo) listados en el libro Elementary Theory of Numbers, de W. Sierpinski (1964) p.115, como tabla de diferencias entre primos sucesivos. Esta primera hipótesis “biológica”, en que los primos estén ya inscriptos de algún modo en el hemisferio derecho y puedan “leerse” visualmente parece compatible con las explicaciones que da el mismo Sacks  sobre las diferentes especializaciones de los hemisferios. Los Gemelos, con graves alteraciones en las funciones lógicas y algorítmicas correspondientes al hemisferio izquierdo, podrían todavía acceder a las formas visuales de la memoria, que corresponden al hemisferio derecho.
   Por otra parte, una observación del libro de Stewart antes citado recuerda que según el teorema de Wilson, se  tiene un test “teórico” para los números primos (impracticable desde el punto de vista computacional) que no requiere averiguar los posibles divisores: “Dado un número q, se le suma 1 al factorial[1] de q-1 y se divide por q. El número q es primo si y sólo si el resto de esta división da cero.”
   Esto abre quizá una segunda perspectiva: la posibilidad de que los Gemelos tengan “implantada” naturalmente la función factorial (o hayan desarrollado un modo icónico o mnemotécnico de “desplegar” el factorial), de modo que al decirles un número, ellos absorben con la información de las cifras simultáneamente las cifras de su factorial. Así, procederían con cada número como lo hicieron con el 111, en una única división, esperando a que “se disgregue o no” el número “que sigue” al factorial de (q-1).
   Estas son dos hipótesis que arriesgo, probablemente equivocadas o insuficientes las dos. Quizá lo más interesante (y desesperante) en esta historia es que no parece haber modo de preguntarles a ellos, porque no pueden dar “razones”, y ni siquiera saben qué es dividir y multiplicar. Pero, ¿sólo queda observarlos, como si fueran prodigios naturales incomprensibles? ¿Cuál es la clave “inteligible”, si existe, el patrón estético oculto para nosotros, evidente para ellos, en el reconocimiento “visual” de los números primos?

   Transcribo a continuación algunos de los mensajes que recibí (pero no verifiqué la información que aportan):
  
Estimado Guillermo:
                                 Muchas gracias por la lectura que me regalaste esta mañana semiotoñal de São Paulo.  Mi área de actuación está lejos de la teoría numérica que apenas vislumbré casi 20 años atrás, en las clases del querido Gentile.
   Sólo me gustaría llamarte la atención respecto de lo siguiente, algo que probablemente vos ya lo sabés.
  Cuando se dice en el comentario del matemático Israel Rosenfield: “La capacidad para determinar los días de la semana a lo largo de un período de ochenta mil años parece apuntar a un algoritmo bastante simple. Se divide el número total de días entre "ahora" y "entonces" por siete. Si no queda resto, la fecha cae en el mismo día que ahora. Si el resto es uno, la fecha es un día después, y así sucesivamente”.
   Esto funcionaría realmente si la historia del calendario no hubiese sido tan accidentada[2].  En octubre de 1582 fueron arrancados 10 días del calendario de varios países muy ligados a la Iglesia.  Los de habla inglesa recién comenzaron a incorporar la reforma en septiembre de 1752 (New Style). Y si nos remontamos a épocas más antiguas, antes de Sosígenes (astrólogo de Cesar) ni siquiera había año bisiesto.  Durante la locura reformista posterior a la caída de la Bastilla, tuvo Francia el calendario de la Razón de meses de 30 días, cada uno con tres semanas de 10 días.  Y eso sin contar los calendarios orientales, cuya complejidad es tan marcada que se publican libros de transformación de fechas para las distintas monarquías.
   La cuenta indicada en el texto refiere a un calendario artificial, que nunca existió.  Sería interesante entonces preguntarles a los gemelos que día de la semana fue el 4 de octubre de 1582 en cualquier país de Europa.  Si acertaran sería una muestra de que además de un poder increíble de cálculo, han asimilado también parte de nuestra historia universal.
   Espero que estas líneas sean de alguna utilidad.  Un placer,
Guigue
(Guillermo Giménez de Castro)
Centro de Rádio-Astrônomia e Astrofísica Mackenzie (CRAAM)

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Hola Guillermo:
                          Gracias por tu mensaje, muy lindo e interesante. Realmente es impactante lo que cuentan de los gemelos. ¿Qué sabemos de la veracidad de toda esta historia? Es notable el paralelo con Funes el memorioso. Evidentemente Borges conocía a alguien con una "patología" semejante o la historia ha sido inspirada en la lectura de dicho cuento.
   Te cuento que como neurobiólogo puedo arriesgar una hipótesis "arrojada" acerca del origen de dicha patología (en realidad inspirada en Borges): ¿Carecerá esta gente de algún proceso molecular que nos permite olvidar? Te digo que es algo que en los próximos años puede ser analizado (basta ver si tienen mutaciones en algunos genes clave, el problema es que conocemos algunos genes clave, pero no todos).
   No sé a vos, pero a mí me sorprende más la habilidad de saber lo que ocurrió en cada día que la habilidad de determinar los números primos. Creo que hay un par de experimentos que sería fundamental hacer: primero
verificar si los números son realmente primos y ver si los determinan en tiempo polinomial o exponencial. Por la descripción del texto parecería ser lo primero, lo cual sería altamente sorprendente y de alto impacto en la matemática. También sería interesante ver cómo codifican lo que ocurrió cada día: probablemente no usen demasiados bytes: llovió o no, tal persona hizo tal cosa, etc.
   Probablemente dicha información entre en un par de megabytes, lo cual es
bastante menos que nuestra memoria visual potencial. Que nuestra mente es una poderosa computadora lo prueba el hecho de que hay muchas cosas que para nosotros son triviales (por ej. caminar por la calle) y que para una computadora guiando un robot son por ahora imposibles. Además, por razones históricas, nuestras computadoras trabajan en serie y nuestro cerebro en paralelo, lo cual nos da una potencialidad de cálculo mucho mayor. Claro que nuestro cerebro no esta optimizado para devorar números, pero si se  encuentra una manera de asociarlos a funciones visuales, entonces la cosa es creíble.
Saludos,
Luciano
(Luciano Moffatt, Ph.D.)
Research Fellow
Department of Molecular, Cellular and Developmental Biology
University of Michigan
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Hola Guillermo:
                          Respecto a “la pregunta más inmediata es qué tipo de forma especialmente grata podría asociarse a los números primos”, tal vez la respuesta la haya dado Stanislaw Ulam, algunos links al respecto son los siguientes:
Está muy bueno el artículo!
Saludos,
Juan Pablo Pinasco
(Depto. de Matemática de la FCEyN)

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   Algunos comentarios que merece un escrito del amigo Guillermo Martínez, en forma de preguntas.

1. Entiendo que las singulares capacidades de algunos individuos vinculadas a su posibilidad de acceso al registro preconciente, exploradas por medio de drogas en épocas no demasiado lejanas (de lo que dio bastante testimonio místico Aldous Huxley), potencian como es natural sus posibilidades de implementación de algoritmos de búsqueda.

2. La fascinante historia de los gnomons y su papel en el desarrollo del concepto de número y de la relación entre la aritmética y la estructura de la materia, en particular el atomismo epicúreo, padece una suerte de reedición actual, que arraiga en el lugar natural para la indagación sobre las relaciones
entre las micro leyes y las macro leyes: la mecánica estadística. Me refiero a lo que en física ha dado en llamarse la teoría del grupo de renormalización,
que al incluir en su nombre la palabra "grupo", testifica su homenaje a uno de los últimos grandes "gnomons" de la ciencia: la mística en torno a los grupos y los invariantes que acompañó, sombreros en mano please,
la gestación de la teoría de la relatividad. ¿Casualmente? uno de los padres de esta criatura, el lucidísimo Poincaré, dio un singular testimonio del papel del preconciente en la gestación de su tesis sobre la funciones de Fuchs.
   El desarrollo actual, fascinante y explosivo, de la mecánica estadística,
incluye una episteme sorprendentemente greco-pitagórica, le guste o no al amigo Sokal.

3. Esa gran organizadora del saber llamada capacidad de abstracción, ¿puede verse en cierta perspectiva como represora? La parálisis que sorprende a las computadoras cuando se las somete a problemas NP, íntimamente vinculados a este asunto de la metáfora de los racimos, ¿es la parálisis de Funes? La fascinante manera en que la matemática va hoy a la zaga de la física en la comprensión de la mecánica estadística, ¿es analógica  con la  esencia de la creación? Glup, reglup!!!

4. ¿Hay un goce del hallazgo preconciente? Esto es una pregunta pero personalmente entiendo muy bien la peculiar sonrisa de los gemelos.

5. Considero que este tema y estas preguntas, pitagóricas como puedan parecer, están en la matriz de un nuevo gap tecnológico para el milenio que alumbra (triste metáfora), y para mentar a otro fanático relativista (y platónico quizás), me gustaría saber en qué anda pensando el amigo Penrose (el de los gnomons no periódicos!!).

6. Podría seguir hilvanando un buen rato, para dar testimonio de pensamiento, pero no tengo vino y esta mañana tenía la intención de trabajar.

   Saludos a Guillermo, quien me presentó hace años a Witold, lo que  demuestra su roederiana persistencia.  
                                       
Jorge Busch
(Depto. de Matemática, Facultad de Ingeniería)
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Guillermo,
            Antes que nada gracias por el posting. Estas listas merecen ser utilizadas para algo más que ofrecer bases de datos y ventilar cuestiones de dudoso interés público.
   Mis comentarios (bastante asistemáticos por cierto):
  1.. A pesar de ser completamente ignorante en la materia planteada, me incluiría en un conjunto que, por analogía, podría llamarse "algunos-dc".
  2.. Como ejemplar exáctico incubado en tiempos posmodernos, creéme que inicié la lectura pensando que se trataba de un derivado del compuesto CKBE (aleación que incluye partes variables de Carroll, Kafka, Borges y Eco)
  3.. Ahora más en serio: Encontré en la web algunos de los fragmentos citados, y creo que tal vez valga la pena chequear eventuales defectos en la traducción y/o transcripción de las citas. No sé, quizá sea simple consecuencia de mi ignorancia.
  4.. Entiendo que estas experiencias abren tres vías especulativas primarias:
   a.. a) Memoria: El ente percibido se conforma con el pensamiento de un ente ya conocido. Cuando veo un "árbol" a lo 200 metros es probable que no vea "hojas" ni "ramas" (sobre todo con mi presbicia), pero las tengo en cuenta igual, porque la percepción se conforma con un ente ideal que existe en mi memoria. La idea de que un estímulo externo dispara la evocación de recuerdos es bastante más general.
   b.. b) Deducción inconciente: Se elabora lo que en sentido kantiano podríamos llamar un "juicio analítico a priori", pero sin que el razonamiento llegue a ser objeto de conciencia.
    c.. c) Aprehensión "simpliciter": Se perciben en forma directa y/o inmediata ciertas propiedades del ente considerado. Algo así como el "praedicatum inest subjecto" de Leibniz, pero sin necesidad de razonamiento. Implica la captación de aspectos previamente desconocidos mediante la sola contemplación del ente externo. La primalidad es inherente al 7.736.269 (está en el número mismo). Yo no la percibo en forma inmediata, pero tal vez otra persona pudiera hacerlo tan sólo mirando el número.
   La vía anterior, la veo distinta de a-. Un ejemplo de a- podría ser el siguiente: Yo podría mirar el número anterior y decir en forma inmediata que es primo. Y no habría truco. Sucede que ése era mi número de teléfono cuando cursaba Algebra I y, en consecuencia, no escapó a la prueba de primalidad durante aquellos días. Hoy recuerdo esto. Ya conozco el número y algunas de sus propiedades están en mi memoria. Lo que sucede es que en este ejemplo el recuerdo está muy lejos de ser innato.
  5.. Tomando como base la clasificación anterior (que tal vez ni siquiera sea buena), tu primera hipótesis parecería construirse sobre la primera vía, a la que entiendo que agregaste el supuesto de que dicha memoria sería innata. Tu segunda hipótesis (algo más artificiosa) se encuadraría mejor en la segunda vía. ¿Me equivoco?. De ser así, fijate que en ambos casos se transitan caminos "apriorísticos".
  6.. Lo interesante de la tercera vía es, a mi desautorizado juicio, que agrega la riqueza derivada de toda una gama de grises entre cierto racionalismo y el más extremo empirismo (extremo éste al que no sería difícil arribar si se llegase a suponer que en esta "percepción" ni tan siquiera se tiene lugar un proceso semiótico).
  7.. Los entes matemáticos ¿Se crean o se descubren? Ahora arriesgo yo una hipótesis lúdica sobre este dilema clásico: Cuando hace Geometría griega intentando abstraer e idealizar las propiedades esenciales de entes reales; cuando se impone a sí mismo la tarea de concebir un espacio en que, digamos, las ecuaciones de Maxwell resulten invariantes, entonces el matemático crea; crea herramientas. Pero qué sucede cuando, prescindiendo por completo de la experiencia y de todo condicionamiento utilitarista, comienza a considerar objetos ideales en sí. ¿Sería tal vez muy aventurado decir que, en este caso, la "materia prima de su pensamiento" está mucho más cerca de su esencia humana que de cualquier otra cosa? ¿Cuándo hace "pura" Matemática, adónde dirige el matemático sus ojos sino hacia adentro? Y en este caso ¿Crea? ¿O simplemente descubre lo que ya existía en él mismo?
   Cordiales saludos,
Horacio
(Horacio Groppa)
(Depto. de Computación de la FCEyN)
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Hola Guillermo:
                         Antes que nada, perdón por mi falta de fuentes. Lo que voy a describir salió en la revista Newton, en alguno de los números del primer año. La busqué en mi casa, busqué el artículo en Internet con los pocos datos que recuerdo, pero no lo encontré. Pero tal vez la información sirva para tener algunos casos más de análisis. En ese artículo relataba el caso de un hombre que, a consecuencia de una lesión cerebral, perdía la capacidad de cálculo exacto, pero conservaba una idea "aproximada" de los resultados finales. Por ejemplo, si se le pedía sumar 40+33, no podía dar el resultado exacto, sí un resultado aproximado. Si se le proponía el resultado 1000 como respuesta, respondía que era imposible porque era demasiado grande. Si le proponían el número 5, indicaba que era demasiado pequeño. Pero ante un número cercano, indicaba que el resultado que le sugerían era el correcto.
   En ese momento imaginé que almacenamos los números como "manchas" o superficies divididas en unidades (en lo propuesto en tu artículo, podríamos pensar un hemisferio con una representación "contable" y el otro con una representación "visual"). El problema que tenía el hombre eliminaba la representación contable pero conservaba la representación visual, con lo
cual podía marcar en forma imprecisa el resultado como suma de superficies, pero le era imposible el resultado preciso (si mal no recuerdo no podía multiplicar o dividir). Es decir, como si hubiera perdido las "rayitas"
internas de la superficie o mancha que la dividía en unidades.
   Después de leer tu artículo, se me ocurrió pensar si los gemelos no tendrán
los números también en forma de superficies, pero en vez de dividirlos en
unidades, los tienen representado como divisiones en números primos. Es
decir, tienen almacenados, "recuerdan" cada número primo como una
determinada superficie, y cada vez que ven una cantidad, la descomponen en
esa "manchas" que recuerdan. Por eso ven el 111 rápidamente como un conjunto de 3 manchas de 37. Simplemente no cuentan 37, "ven" 37 como nosotros no deletreamos una palabra sino que la vemos como un todo.
   Y de esa manera, cada vez que generan un número primo nuevo, cada vez que lo ven, "almacenan" una nueva mancha, una nueva estructura que les permitirá "ver" esa cantidad como una "unidad". Lástima no tener los gemelos a mano para poder hacer algunas experiencias.
Saludos,
Gonzalo Zabala
(Depto. de Matemática de la FCEyN)



[1] El factorial de un número es el producto de todos los números menores o iguales que él. Ej. el factorial de 5 es 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
[2] En el artículo original de Sacks se menciona (equivocadamente) que los Gemelos también podían decidir el día de la semana hacia atrás hasta cuarenta mil años en el pasado. Varios mails me llamaron la atención sobre este error. 

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