Presentación en el festival de Matemática de Buenos Aires 2009, del libro Gödel ∀(para todos) junto a Gustavo Piñeiro.
Una charla sobre los teoremas de Gödel, las interpretaciones de Lacan y un esbozo de la demostración novedosa y elemental que aparece en el libro.
Guillermo Martínez
Vamos a hablar brevemente de nuestro libro Gödel ∀(para todos), con un poco más de nervios de lo habitual, porque está entre el público nada menos que Gregory Chaitin, quien hizo aportes notables en la continuación de las ideas de Gödel.
El teorema de Gödel trata de la diferencia o de la distancia entre lo que es verdadero en matemática y lo que es demostrable. La primera analogía que yo intentaría, para explicar de qué trata el teorema, es una que ya utilicé en alguna de mis novelas: un crimen en un cuarto cerrado con dos únicos sospechosos.
Los dos sospechosos saben toda la verdad sobre el asunto, que puede resumirse en la frase “yo fui” o “yo no fui”. Pero cuando llega el juez de instrucción, si los dos dicen “yo no fui”, empieza el problema de la demostración. Hay una verdad, pero el juez, que no la conoce, tiene que proceder por un camino indirecto e intentar avanzar por recolección de huellas, verificación de coartadas, etcétera. Muchas veces ese camino indirecto no le alcanza -por las exigencias del protocolo de la justicia, por los requisitos estrictos sobre las evidencias- para llegar a la absolución o a la condena. Y el sistema legal no puede, por lo tanto, decidir sobre la cuestión de la culpabilidad y la inocencia. Hay una verdad, pero el sistema no puede alcanzarla. En Argentina, por suerte, eso no pasa. (Risas)
Es claro entonces que en la justicia lo verdadero no necesariamente coincide con lo demostrable. Y lo mismo ocurre en otras disciplinas del conocimiento, como por ejemplo en la arqueología, donde la verdad -aunque también existió en el pasado, de alguna manera única y concreta- se nos presenta como un límite, o una hipótesis provisoria, que depende de los sucesivos hallazgos.
Sin embargo, en la matemática, la intuición durante siglos fue que los dos términos -verdadero y demostrable- coincidían. Todo lo que era verdadero, debía admitir una demostración, en el sentido preciso que los matemáticos entienden por demostración. Una demostración es un texto en el que a partir de algunos principios o axiomas que se asumen como ciertos, se obtienen otros por medio del encadenamiento de un razonamiento lógico, que se puede chequear paso a paso, hasta llegar a la tesis que se pretende probar.
Ejemplo: Demostración de que 1 + 1 = 2.
(Recordar que la letra S significa “sucesor” de un número. Por ejemplo, S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, etc.)
Demostración:
Axioma: Cualquiera sea el número x, vale que x + 0 = x
En particular, si x = 1, vale que 1 + 0 = 1
Axioma: Cualesquiera sean los números x e y, vale que
x + S(y) = S(x + y)
En particular, si x = 1 e y = 0, vale que 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1)
Entonces 1 + S(0) = S(1)
Pero S(0) = 1 y S(1) = 2
Por lo tanto, 1 + 1 = 2
q.e.d
Diap: Demostración de que 1 + 1 = 2.
Las demostraciones en matemática, a pesar de lo que suele creer quizá la gente, requieren mucho de invención y de imaginación. Aquí se ve a la demostración tal como debe enfrentarla un matemático que debe obtenerla por sí mismo, por primera vez. La demostración como un camino a encontrar en un laberinto de bifurcaciones.
El matemático estaría allí arriba, y tiene que encontrar el camino desde las hipótesis de partida a la tesis a la que pretende llegar entre múltiples bifurcaciones lógicas. Una vez que encuentra ese recorrido puede escribir su texto, donde todo parecerá natural y evidente: los que vienen a continuación sólo tendrán que seguir los pasos marcados. En esa búsqueda -que Andrew Wiles[1] describió también como el tanteo en una habitación en principio a oscuras, que se va iluminando de a poco- hay un momento de inspiración, que es el que corresponde a saber decidir, en cada una de las bifurcaciones, por dónde avanzar. De manera que hay en la matemática un momento de inspiración, de creación. Un momento incluso elitista, en que el matemático, a solas con sus ideas y con los objetos con los que se familiarizó durante muchos años, percibe una verdad. Y el momento democrático en el que expone esa verdad a través de un texto que pueda ser chequeado en todo detalle por cualquiera. Ese “cualquiera” debe ser, en sentido estricto, cualquiera, no necesariamente alguien con un saber matemático elevado, y creo yo que una de las razones por la que la matemática avanzó tanto en profundidad con respecto a otras disciplinas es por esta combinación de genio y penetración en la aprehensión del conocimiento y de absoluta claridad en la exposición posterior de ese conocimiento. Insisto en esto: al exponerse una demostración, si se lo hace con suficiente detalle, cualquiera, aún sin tener conocimientos matemáticos, puede corroborar de una manera mecánica, por el chequeo paso por paso de ligaduras lógicas, si la demostración es correcta.
Dijimos que hasta el siglo XIX había una intuición predominante entre los matemáticos de que en su disciplina lo verdadero y lo demostrable coincidían. Y de que para cada verdad matemática habría una demostración a partir de axiomas que la sustentara.
Pero a principios del siglo XX aparecieron algunos problemas en el terreno de los fundamentos de la matemática. Quizá el más conocido sea la paradoja que descubrió Russell. Se había pensado en fundamentar la matemática a través de la teoría de conjuntos, y definir todos los conceptos matemáticos a partir de conjuntos, pero Bertrand Russell encontró una paradoja, que mostraba que había que tener mucho cuidado en la manera de definir los conjuntos para no llegar a contradicciones.
La Paradoja de Russell
Los conjuntos, por lo general, no son elementos de sí mismos: el conjunto de todos los números no es en sí mismo un número, el conjunto de todos los alumnos de una clase no es en sí mismo un alumno de la clase. Sin embargo, pueden concebirse conjuntos que son elementos de sí mismos: el conjunto de los conceptos es en sí mismo un concepto. El conjunto de todos los conjuntos es en sí mismo un conjunto.
Así, puede concebirse también el conjunto S de los conjuntos que no son elementos de sí mismos.
S = {X tal que X no pertenece a X}.
Ahora bien: ¿S pertenece a S?
Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S.
Si S no pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto S pertenece a S.
Tenemos así que tanto la pertenencia como la no pertenencia de S a sí mismo nos lleva a una contradicción.
Esta paradoja fue popularizada por el mismo Russell como la paradoja del barbero: Un barbero de cierto pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos.
¿Debe el barbero afeitarse a sí mismo?
Diap: La paradoja de Russell.
Entonces, en ese momento de crisis, Bertrand Russell por un lado y David Hilbert por el otro, se propusieron refundar toda la matemática en base a la teoría más familiar, e históricamente más probada, la teoría más elemental, que es la aritmética: los números que usamos para contar con las operaciones de suma y multiplicación, tal como se nos enseña en la primaria. A esta teoría se la llama aritmética elemental.
David Hilbert siempre queda mal parado en las historias sobre el teorema de Gödel. Sin embargo, él fue uno de los primeros que percibió las dificultades y los problemas de desarrollar una teoría de la demostración “bajo control”. David Hilbert se proponía, frente a la crisis en los fundamentos, hacer una teoría de la demostración segura, libre de paradojas, en la que sólo se procediera por enunciados cuya verdad se pudiera comprobar en una cantidad finita de pasos, mecánicamente, y que tuviera también incorporada, como parte de las reglas de juego, el marco lógico, la enunciación explícita de los principios lógicos y el protocolo que rige el razonamiento matemático.
O sea, no solamente los axiomas de contenido matemático, sino también la lógica que usa un matemático puesto a trabajar. Esa lógica es común a todas las teorías. Es la lógica matemática. Y está dada por una serie de axiomas y unas reglas de inferencia que permiten pasar de una línea de la demostración a la siguiente con ciertas prescripciones.
Estos dispositivos formales concebidos por Hilbert son los que se llaman los “sistemas axiomáticos”. Un sistema axiomático es un conjunto prefijado y bien determinado de primeros principios para cada teoría y un marco lógico común que nos dice cómo proceder a demostrar afirmaciones, o enunciados, a partir de esos axiomas.
Algo interesante sobre Gödel, y que no es tan conocido, es que Gödel probó en su vida, además de su famoso teorema de incompletitud, también un teorema de completitud. Éste fue en realidad su primer teorema importante, su tesis doctoral. El teorema de completitud que probó Gödel dice que estos diez axiomas del cuadro describen perfectamente la maquinaria lógica, y son suficientes para probar todas las verdades que son puramente lógicas. Por eso se llama teorema de completitud. Porque a partir de estos axiomas, y utilizando las dos reglas de inferencia, se pueden obtener vía demostraciones todas las verdades puramente lógicas. En la demostración de este teorema, durante su tesis doctoral, él ya percibió una serie de dificultades, aún cuando no estaba utilizando funciones ni relaciones matemáticas, sino sólo la estructura más descarnada, puramente lógica. Entonces se le ocurrió por primera vez la posibilidad de que para otras teorías, con alguna complejidad matemática, ya no hubiera completitud. Es decir, concibió por primera vez la posibilidad de que existieran teorías matemáticas que no pudieran ser axiomatizadas de esta manera, a partir de unos pocos “primeros principios”.
En paralelo, y sin conocer estas primeras sospechas de Gödel, Hilbert se proponía un programa para reobtener todo el edificio de la matemática a partir de sistemas de axiomas infalibles, libres de paradojas o contradicciones, por medio de su teoría “segura” de la demostración. Su idea era proceder por “reducciones” sucesivas hasta basar toda la matemática en la aritmética elemental. Ya se había probado que la geometría, por ejemplo, se podía reducir a sistemas de ecuaciones de números complejos. Pero a su vez los números complejos se pueden obtener, por extensiones sucesivas, a partir de los números naturales, y, en definitiva, de la aritmética elemental. Entonces lo que Hilbert se proponía era dar una axiomatización completa para la aritmética elemental. De esa manera estaría dando un fundamento axiomático para toda la matemática. Y se proponía, como coronación de su programa, probar que la aritmética elemental era consistente, es decir, libre de paradojas o contradicciones como las que habían aparecido en la teoría de conjuntos. Ese era esencialmente el programa formalista de Hilbert: fundamentar toda la matemática en la aritmética elemental, dar un sistema de axiomas completo para la aritmética y probar que ese sistema era consistente, es decir, libre de contradicciones.
¿Cómo sería un sistema axiomático para la aritmética? ¿Qué aspecto tendría?
Uno de los posibles sistemas axiomáticos para la aritmética es éste que puede verse aquí.
Aritmética de primer orden de Peano
(Como ya dijimos, la letra S indica la función sucesor, que a cada n le asigna su sucesor inmediato n + 1.)
(1) 0 ≠ Sx Axiomas de la función sucesor
(2) Sx = Sy → x = y
(3) x + 0 = x Axiomas para la suma
(4) x + Sy = S (x + y)
(5) x · 0 = 0 Axiomas para el producto
(6) x · Sy = (x · y) + x
(7) Axioma de inducción:
Para cada propiedad P dada por una fórmula[2] P(x), si vale P en 0, y para cada número x, si vale P en x vale también P en el sucesor de x, entonces vale P(x) para todos los números.
Diap: Un sistema axiomático para la aritmética.
La aritmética del primer orden de Peano.
Tenemos, como siempre, el marco lógico que ya habíamos visto en la diapositiva anterior, y aquí se dan los axiomas para la función sucesor (que consiste en sumar 1), para la suma, y para el producto. Finalmente, en el último axioma, los matemáticos reconocerán el llamado Principio de inducción. Dice que si una propiedad dada por una fórmula se cumple en 0, y cada vez que se cumple en un número x, se cumple en el número siguiente de x, (x+1), entonces se tiene que cumplir en todos los números[3].
Aquí volvemos por un instante a la literatura, y a una frase de Borges en “Avatares de la tortuga”.
“Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito.”
Diap.
Y, casi como una respuesta, como si recogiera el desafío, una frase de Hilbert, en “Acerca del infinito”
“La elucidación definitiva de la naturaleza del infinito es algo que va mucho más allá del ámbito de los intereses científicos particulares, algo que, en realidad, se ha convertido en una cuestión de honor para el entendimiento humano.”
En verdad, y aunque sea difícil explicarlo aquí, lo que está detrás del teorema de Gödel es la dificultad de tratar con el infinito como una totalidad. Los matemáticos, históricamente, habían manejado bien y durante mucho tiempo la idea del infinito potencial, el infinito como un conjunto que puede ser aumentado tanto como se quiera. Pero con Cantor, a partir de 1870, se introduce el infinito actual. Es decir, el infinito pensado como un conjunto “todo a la vez”. Y esto trae varios problemas. Por eso digo que debe reivindicarse en esta historia a Hilbert, quien fue uno de los primeros que advirtió que los mismos riesgos y problemas que habían aparecido en el campo del análisis al considerar sumas y productos infinitos, podían surgir en las demostraciones al utilizar los conceptos de “para todo” y “existe” aplicados a totalidades infinitas, si no se tomaban las debidas precauciones. Y esta es la cuestión en el fondo. Cuando pensamos en la definición de verdad decimos que una afirmación E(x) es verdadera si y sólo si son verdaderas todas las afirmaciones E(1), E(2), E(3), etc… De modo que la definición de verdad implica una totalidad infinita, la de todos los números naturales.
Sin embargo, aún si uno sabe cómo hacer la demostración para el caso E(1), cómo hacer la demostración para E(2) y cómo hacer la demostración para E(n), cualquiera sea el número n, esa cantidad infinita de premisas no permite inferir en general que habrá también una demostración del enunciado “Para todo x, vale E(x)”.[4] Esta posibilidad ya la había advertido Hilbert, y por eso se planteaba una teoría de la demostración que procediera de manera “segura” en el tratamiento del infinito. Aún así, Hilbert tenía confianza de que su programa podía ser llevado a cabo.
Pero entonces, en 1931, Gödel presenta su famoso teorema de incompletitud. Hay un relato que reproducimos en nuestro libro, muy interesante, sobre la sesión en el congreso de matemática en que Gödel anuncia por primera vez su teorema. Había en ese momento una disputa muy fuerte entre intuicionistas y formalistas. Parte del programa de Hilbert era mostrar que cualquier enunciado que fuera probado por métodos cualesquiera (finitistas o no) luego podría ser reproducido en base a su teoría de la demostración finitista. Hilbert expone sobre esta posibilidad de reconciliación entre las dos posiciones y Gödel lo interrumpe con un comentario tímido, para decir que él cree que eso no será posible. Después de que termina la sesión comenta con Hilbert y otros la idea que está detrás de su teorema. En realidad lo que él prueba finalmente en su teorema de incompletitud es que:
Teorema de incompletitud de Gödel (1931)
Cualquier sistema axiomático que se proponga para la aritmética, si es consistente, tendrá enunciados indecidibles (es decir, enunciados que no pueden ser demostrados ni refutados por el sistema). Más aún, si los axiomas del sistema se eligen entre los enunciados verdaderos de la aritmética, se puede encontrar un enunciado que es verdadero pero no es demostrable (para ese sistema).
De manera que se replica aquí, dentro de la aritmética elemental, la misma situación que vimos con la justicia y los dos sospechosos. El protocolo estricto de Hilbert sobre la manera en que deben seleccionarse los axiomas, el requerimiento de que la verdad de esos axiomas sea corroborable en una cantidad finita de pasos, la idea, en fin, de una teoría de la demostración a prueba de balas, termina por encontrar su límite y no logra probar toda la verdad de la aritmética. La aritmética como teoría es esencialmente incompleta, y de esta manera el teorema de Gödel destruye una por una todas esperanzas de Hilbert. En primer lugar, muestra que hay enunciados de la aritmética cuya validez no puede decidirse en base a los enunciados finitistas. Es decir, no hay posibilidad de dar una lista exhaustiva de axiomas para la aritmética que permita obtener, vía demostraciones, todos los enunciados verdaderos. Aún peor, uno de los enunciados no demostrables dentro del sistema es justamente la propiedad de consistencia de la aritmética. Recuerden que Hilbert quería fundar toda la matemática a partir de la aritmética. Para eso necesitaba una prueba de consistencia absoluta. Ya no podía ir más atrás porque ése era el sistema fundante, la primera piedra. Pero una consecuencia del teorema de Gödel, que se conoce con el nombre de Segundo teorema de Gödel, o Teorema de consistencia, dice que la consistencia del sistema es uno de los enunciados que no puede demostrarse dentro del sistema. Finalmente, como una última ironía, la demostración dada por Gödel para su teorema sí es finitista, “segura”, y cumple todos los requisitos formales. Es una de las demostraciones que quería Hilbert. O sea, el teorema de Gödel sí es tan verificable e imbatible como 1 + 1 = 2. La demostración es, además, una demostración constructiva. Gödel proporciona un método que es como una receta: para cada sistema axiomático que se proponga para la aritmética, su método indica cómo “construir” paso a paso el enunciado indecidible, que queda “fuera del alcance” y no puede ser ni demostrado ni refutado por ese sistema.
Esto significa, en particular, que no pueden elegirse axiomas y escribir una lista cada vez más larga con la esperanza de obtener todas las verdades de la aritmética a partir de la lista. Alguien podría decir: bueno, pero si Gödel muestra que hay un enunciado que no es demostrable a partir, por ejemplo, de la aritmética de Peano, añadimos ese enunciado como nuevo axioma al sistema y lo “completamos”. No: si añadimos ese enunciado como nuevo axioma, tenemos un nuevo sistema axiomático y para ese nuevo sistema el mismo procedimiento genera otro enunciado indecidible. Por eso se dice que la aritmética es esencialmente incompleta: no hay modo de completarla por más que extendamos por añadidos sucesivos la lista de axiomas. Hay una distancia insalvable entre la verdad y lo demostrable.
Sin embargo, hay dentro de la matemática otras teorías perfectamente legítimas, útiles, conocidas, etcétera, que sí son completas.
Por ejemplo la teoría de los números complejos:
La teoría de primer orden de los números complejos
Recordemos que los números complejos pueden pensarse como expresiones del tipo a + bi, donde a y b son números reales, e i es la llamada unidad imaginaria, con la propiedad
i2 = –1.
La suma de dos números complejos está dada del siguiente modo:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
El producto de dos números complejos está dada del siguiente modo:
(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i
Sea L = {+, ·, 0, 1} donde + y · son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 símbolos de constantes. Consideremos la siguiente lista de enunciados:
(1) x + (y + z) = (x + y) + z (asociatividad de +)
(2) x + 0 = x ∧ 0 + x = x (existencia de elemento neutro para +)
(3) ∃y(x + y = 0 ∧ y + x = 0) (existencia de elemento inverso para +)
(4) x + y = y + x (conmutatividad de +)
(5) 1 · x = x ∧ x · 1 = x (1 es una unidad para el producto)
(6) x · (y · z) = (x · y)· z (asociatividad de ·)
(7) x · y = y · x (conmutatividad de ·)
(8) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributividad de · sobre +)
(9) x · y = 0 → (x = 0 ∨ y = 0) (no hay divisores de 0)
(10) x ≠ 0 →∃y (y · x = 1) (existencia de elemento inverso para ·)
(11n) n1 ≠ 0 (una lista infinita de axiomas: 1 ≠ 0; 1 + 1 ≠ 0; etc.)
(12n) ∃y (xn · yn + xn–1 · yn–1 + … + x1· y + x0= 0) ∨ xn = 0
(12n) es en realidad también una lista infinita de axiomas, que expresa el hecho de que todo polinomio tiene raíz.
Diap: Axiomatización completa de los números complejos.
Este ejemplo me parece que es conceptualmente muy importante para evitar una gran cantidad de errores en la propagación del teorema de Gödel, y en su divulgación fuera de la matemática. Estos axiomas que listamos aquí alcanzan para demostrar todos los enunciados que son verdaderos en el cuerpo de los números complejos. Es decir, los dos fenómenos: completitud e incompletitud, conviven y se manifiestan en la matemática. Hay muchas otras teorías, que tienen relevancia en matemática y son también completas.[1] Los dos mundos coexisten, por decirlo de algún modo.
Y ahora vayamos a Lacan. Parte de nuestro libro es discutir algunos de los intentos de aplicación del teorema, o de las invocaciones a Gödel fuera de la matemática. El teorema de Gödel despertó mucha atención en disciplinas sociales ajenas a la matemática porque en el fondo toda disciplina del conocimiento, de una manera implícita o explícita, asume ciertas primeras verdades, ciertos principios, ciertos postulados. Tenemos las “20 verdades peronistas”, tenemos el axioma del materialismo que asegura que existe primero la materia y la conciencia sería una organización superior de la materia. Tenemos los axiomas del psicoanálisis freudiano: Existe el inconsciente y el complejo de Edipo y la tríada del yo, el superyó y el ello. Cada disciplina tiene sus primeras verdades y también, una vez que están fijadas esas verdades, hay algo que es como un aire de familia en los discursos que se generan a partir de ellas. Y que es lo que permite en el fondo discutir. Ese aire de familia es que todas proceden por argumentos lógicos, por argumentación lógica. Si uno lee los diálogos Platónicos se ve que más allá de los distintos principios que sustenta cada uno de los diferentes contendientes hay una lógica común y por eso pueden pensarse las distintas disciplinas como sistemas formales, o sistemas que podrían formalizarse, con ciertos principios y un aparato argumental, de manera similar a este esquema que hemos dado de axiomas y reglas de inferencia en la matemática. De manera que el teorema de Gödel susurra y dice algo para todas las disciplinas. Cuidado, les dice, revisen sus fundamentos. En nuestro libro nosotros analizamos y discutimos intentos de aplicación del teorema de Gödel en la semiología, con Julia Kristeva, en la filosofía con el libro de Deleuze y Guattari, “Qué es la filosofía”. En el discurso post moderno, con Lyotard, en la política, con Régis Debray y en el psicoanálisis con una analogía que da Lacan. Lacan, en particular, utiliza recurrentemente el teorema de Gödel en sus seminarios. Incluso para su definición de lo real hace alusión al teorema de Gödel, y en el Seminario 19, Clase VI (El saber del psicoanalista) invoca una analogía que nosotros resumimos en este cuadro:
La analogía de Lacan
La experiencia del análisis instaura un discurso que podría articularse con una estructura lógica.
Tal como sucede en la aritmética, la textura lógica de ese discurso tiene “fallas” o “aberturas”.
Dentro de la analogía, en esas aberturas está “lo que puede salir del lenguaje” y se corresponderían con los enunciados indecidibles de la aritmética.
Esas “fallas” o “aberturas” lógicas deben ser privilegiadas por los analistas. Allí estaría el “modelo de lo que debe interesar a los analistas”, “lo que entrega la exploración del inconsciente”.
Y sobre todo, y por eso en nuestro libro nos detuvimos en particular en este ejemplo, Lacan infiere de aquí una consecuencia metodológica, una guía de acción para los psicoanalistas que están analizando personas concretas:
“Ese real debe ser privilegiado por nosotros. ¿Por nosotros quienes? Los analistas. Pues da de una manera ejemplar, es el paradigma de lo que pone en cuestión lo que puede salir del lenguaje. […] Propongo, al interesarnos en ese real, en tanto se afirma por la interrogación lógica del lenguaje, propongo encontrar allí el modelo de lo que nos interesa, a saber, de lo que entrega la exploración del inconsciente...”
Así, en lo que puede salir del lenguaje estaría lo más interesante de la exploración, aquello a lo que debe prestar sobre todo atención el psicoanalista en su práctica. Esos serían los momentos de epifanía psicoanalítica.
Sin ánimos de impugnar o decidir si será correcto en la práctica psicoanalítica lo que propone Lacan, nosotros tenemos una serie de objeciones, una observación metodológica sobre las precauciones que hay que tener al invocar esta clase de analogías.
Primera objeción
Es posible que la exploración del inconsciente permita cierta estructuración lógica parcial. Pero esa estructura lógica, ¿tendrá algo que ver con la lógica binaria y estricta de la matemática, que tiene como uno de los principios al tercero excluido?
Segunda objeción
La experiencia del análisis se lleva a cabo en un lenguaje que está hecho del deslizamiento de la significación y, lo dice el mismo Lacan, es lo más alejado posible del lenguaje matemático formal. Este lenguaje, lo dice también Lacan, se manifiesta a través de ambigüedades, equívocos, silencios, rodeos, alusiones, vacilaciones. Es un lenguaje que tiene muy poco que ver con el lenguaje estrictamente formal, inequívoco, construido como un objeto matemático muy preciso que definen Hilbert y compañía, justamente para eliminar toda ambigüedad. Son extremos opuestos. ¿Por qué deberían luego dar lugar a comportamientos similares?
Tercera Objeción
¿Por qué Lacan prefiere, cuando va a buscar su ejemplo dentro de la matemática, el sistema de la aritmética como modelo para su analogía y no alguna de las muchas teorías completas que hay en la matemática, por ejemplo la teoría de los complejos? Y decimos incluso, ¿no sería más razonable, para modelar un discurso que es parcialmente lógico, que admite la negación, la disyunción, la implicación, pensar en estructuras matemáticas que representen operaciones lógicas, como las álgebras de Boole? ¿Por qué se parecería el discurso del inconsciente a la aritmética con la suma y la multiplicación? A nosotros nos parece muy extraña esta elección para su analogía.
Cuarta objeción
Y a partir de esta objeción aparece otra. ¿Cómo saber si el inconsciente de todas las personas se va a expresar con la misma clase de estructura lógica que permita esa analogía con la aritmética? Quizá distintos traumas, distintas obsesiones, distintas capacidades de expresión, den lugar a simulaciones con estructuras lógicas diferentes.
Quinta objeción
Aceptemos igualmente que todo esto fuera posible. Llegamos al punto quizá más delicado: no sólo Lacan tropieza aquí, sino también dentro de la matemática se ha tropezado con esta cuestión. El teorema de Gödel tiene la forma de una implicación, de un condicional del tipo: Si P entonces Q. Lo que dice es que
“Si el sistema para la aritmética es consistente, entonces habrá un enunciado indecidible.”
Si el sistema no es consistente, todo es demostrable y todo es refutable, ya no hay modo de discriminar. O sea, la consistencia (que el sistema no dé lugar a contradicciones) es una condición escondida y asumida a priori en todo esto que estamos hablando.
Consistencia → Incompletitud
De manera que, para que tenga algún sentido la analogía que intenta Lacan, debería poder presumirse la consistencia del discurso obtenido en el análisis, como se presume la consistencia de la aritmética, con una evidencia fundada de miles de años de civilización y de manipulación con los números naturales. Pero bueno, ¿alguien puede presumir que un discurso obtenido durante la experiencia del psicoanálisis no tendrá contradicciones y será un sistema consistente?
Sexta objeción
Imaginemos que se pudieran superar todas las demás objeciones. Todavía hay un detalle que a nosotros nos inquieta. Y es que Lacan parece creer que lo indecidible es algo especialmente valioso, raro, casi místico, en un más allá del lenguaje, y que sería como la epifanía que el esforzado psicoanalista debe intentar de elucidar. Sin embargo, lo indecidible no tiene ese aura en la matemática. Para los matemáticos que estén en la sala, si uno considera, por ejemplo, la teoría del orden total,[2] el enunciado que dice “el orden es denso” es indecidible para esa teoría, simplemente porque hay ejemplos de órdenes totales donde tengo densidad (los números racionales) y hay ejemplos donde no la tengo (los números enteros). Entonces la propiedad de densidad no puede ni demostrarse ni refutarse a partir de los axiomas del orden total.
Lo indecidible depende del alcance y extensión de los axiomas, no tiene por sí mismo, en principio, un valor especial. Pero Lacan sí parece creer que lo verdaderamente importante aparecerá a través de estas “fallas”. Más aún, en la matemática ocurre más bien el caso opuesto: para enunciados que sí son significativos, y cruciales desde el punto de vista matemático, pero que son muy difíciles de probar, finalmente se encuentra, o bien una demostración, o bien un contraejemplo, como ocurrió por ejemplo con la famosa conjetura de Fermat. Y enunciados que son indecidibles a veces no tienen ninguna significación matemática. De hecho los matemáticos siguen su curso y su trabajo sin prestar demasiada atención al teorema de Gödel. No es que estén en un limbo de indecisión desde que se probó el teorema de Gödel. Es decir, no hay en principio una vinculación entre lo indecidible y lo significativo, o lo verdaderamente importante.
Completitud versus incompletitud
Ya hemos dicho, y lo repetimos una vez más, que los dos fenómenos, la completitud y la incompletitud, conviven en la matemática. Nuestro libro empezó a partir de una pregunta que, nos parece, es bastante natural. Con Gustavo nos preguntamos si sería posible detectar e identificar los ingredientes matemáticos que dividen aguas entre aquellas teorías que sí pueden ser completadas, como los números complejos, y teorías esencialmente incompletas, como la aritmética. ¿Qué tiene que haber en un objeto matemático para que su teoría sea completa, o bien para que su teoría sea esencialmente incompleta? ¿Cómo se detecta, desde la matemática, esa diferencia? ¿Hay una manera de vislumbrar eso?
Lo que encontramos finalmente es una respuesta parcial: la condición matemática “mínima” para poner en funcionamiento la demostración original de Gödel. Esa condición tiene una sencillez extrema, y que a nosotros nos parece muy elegante:
El objeto tiene que tener operaciones algebraicas que permitan traducir la operación de concatenación del lenguaje.
La concatenación, en el lenguaje, no es más que la yuxtaposición de letras o palabras, una a continuación de la otra. Por ejemplo, la concatenación de la expresión “sal” con la expresión “as”, es la expresión “salas”.
Si uno encuentra una operación de ese tipo en el objeto matemático, entonces puede desarrollar el teorema de Gödel. ¿Y qué ocurre en la aritmética? Justamente, que en la aritmética también sabemos cómo concatenar. El 35 concatenado con el 698 es el 35698.
En definitiva, ¿por qué la aritmética es incompleta? ¿Cuál es el elemento matemático que está escondido detrás del fenómeno de incompletitud?
El hecho de que esa concatenación de cifras se pueda hacer con la multiplicación y con la suma.
Solamente con la suma no se podría hacer. Y, de hecho, la aritmética que prescinde de la multiplicación es una teoría completa. Pero si uno tiene la multiplicación y la suma, la concatenación se obtiene “corriendo” con la multiplicación suficientes lugares, tantos como precise la segunda cifra y después se suma la segunda cifra para “pegarla” a continuación de la primera. En nuestro ejemplo, se multiplica al 35 por 1000 para correr tres lugares y luego se suma 698.
Esta es la idea que encontramos y nos pareció una idea tan simple, tan elemental, que nos dieron ganas de contarla para todo público, para todos los públicos. Y en vez de escribir Gödel para algunos lógicos matemáticos, decidimos escribir Gödel ∀(para todos).
Preguntas del público
Pregunta: Yo tengo en realidad dos preguntas. Una es qué opinan de la broma de Sokal. La famosa broma de Sokal sobre Lacan y las ciencias sociales.
GM: En el libro hay todo un capítulo en que discutimos los intentos de extrapolación del teorema de Gödel a otras disciplinas. Y la base en esa discusión es justamente el libro de Sokal y Bricmont, y el libro de Jacques Bouveresse “Prodigios y vértigos de la analogía”. Pero en Sokal y Bricmont ellos no hacen hincapié particular en el teorema de Gödel, sino en muchos otros errores matemáticos que se han cometido en distintas extrapolaciones. Entonces nosotros rastreamos, por nuestra cuenta, por ejemplo en el caso de Lacan, en qué puntos de los seminarios aparece el teorema de Gödel, cómo lo utiliza. Y hacemos sobre Lacan una discusión propia. No queremos hacer responsables a Sokal y Bricmont de lo que decimos en ese capítulo. Compartimos, por supuesto, muchas de las críticas que ellos hacen. Pero tenemos una conclusión un poco más optimista. Al leer la crítica de ellos queda la sensación de que quizá no haya nada que la gente de las ciencias sociales pueda encontrar de este lado matemático, que no les conviene ni siquiera asomarse, porque no van a entender nada, y van a utilizar fatalmente los conceptos de una manera incorrecta. Y nosotros, por el contrario, intentamos en nuestro libro una exposición lo más hospitalaria posible de estos resultados, con la esperanza de que todos conozcan algo de estas ideas, porque creemos que son ideas que contribuyen al conocimiento de una forma general. Quisiéramos que gente de otras disciplinas lo tomen como lectura, que futuras analogías sean más precisas y puedan seguir dando inspiración en otros ámbitos. Incluso, a diferencia de ellos, que son muy críticos con las ideas de Lyotard respecto a la física, nosotros rescatamos una exposición de Lyotard sobre el teorema de Gödel, y su vinculación con los juegos de lenguaje de Wittgenstein, que nos parece bastante acertada.
[1] Andrew Wiles: matemático inglés, nacido en 1953, probó uno de los problemas abiertos más famosos de la matemática: la última conjetura de Fermat.
[2] Escrita con los símbolos de la suma, el producto y la función sucesor y con los cuantificadores Existe y Para todo restringidos a números.
[3] La diferencia entre esta axiomatización y los axiomas originales propuestos por Richard Dedekin y conocidos como los axiomas de Peano es que la inducción está restringida aquí sólo para aquellas propiedades que pueden expresarse a través de fórmulas del lenguaje, escritas de acuerdo a lo que indicamos en la nota 2.