Publicado en adn, La Nación, con el título La impredecible lógica de los crímenes en serie, septiembre 2012.
Uno de los cuentos más famosos de Borges, “La muerte y la brújula”, plantea
como enigma una serie de muertes, concertadas de acuerdo a un patrón que se
revela de a poco. “El primer crimen”, se declara, “ocurrió en el Hôtel du Nord
–ese alto prisma que domina el estuario cuyas aguas tienen el color del
desierto.”
En una primera lectura, el
nombre del hotel podría pasar inadvertido, como un dato intercambiable, una
elección casi arbitraria. Sin embargo, es la primera referencia a una de las
claves de la solución.
El Hôtel du Nord representará el punto cardinal norte. La otra referencia oculta de la frase es la mención al estuario, que invita a identificar la ciudad con Buenos Aires. A este hotel arriba el día 3 de diciembre el delegado a un Congreso Talmúdico, de apellido Yarmolinsky, sólo para morir asesinado esa noche. En una máquina de escribir junto al cadáver hay una hoja con una frase inconclusa; “La primera letra del Nombre ha sido articulada”. También aquí, a primera vista, la fecha del 3 parece un número cualquiera elegido al azar. Pero muy pronto, el número 3 reaparece.
El Hôtel du Nord representará el punto cardinal norte. La otra referencia oculta de la frase es la mención al estuario, que invita a identificar la ciudad con Buenos Aires. A este hotel arriba el día 3 de diciembre el delegado a un Congreso Talmúdico, de apellido Yarmolinsky, sólo para morir asesinado esa noche. En una máquina de escribir junto al cadáver hay una hoja con una frase inconclusa; “La primera letra del Nombre ha sido articulada”. También aquí, a primera vista, la fecha del 3 parece un número cualquiera elegido al azar. Pero muy pronto, el número 3 reaparece.
“El segundo crimen”, se nos
dice, “ocurrió la noche del 3 de enero, en el más desamparado y vacío de los huecos
suburbios occidentales de la capital”. En una pared junto al cadáver quedan
escritas unas palabras en tiza: “La segunda letra del Nombre ha sido
articulada”.
La tercera muerte, ahora más
previsiblemente, ocurre la noche del 3 de febrero. Se establece así la aparente
firmeza del número 3 como patrón en la regularidad de un muerto por mes, pero se
vela más la clave geográfica. El crimen habría ocurrido, se dice al pasar, “en
la dársena inmediata, de agua rectangular”, una mención oblicua al punto cardinal
este. La sentencia, en una de las pizarras de la recova, dice esta vez “La
última de las letras del Nombre ha sido articulada”.
El comisario a cargo de la
investigación, que representa el orden de lo prosaico y del sentido común,
recibe pocos días antes del 3 de marzo un sobre con un plano de la ciudad y una
carta en la que se profetiza que el 3 de marzo no habría otro crimen, porque
“la pinturería del Oeste, la taberna de la Rue de Toulon y el Hôtel du Nord
eran los vértices perfectos de un triángulo equilátero y místico”.
El comisario envía la carta y
el plano a Erik Lönnrot, el detective paralelo del relato, el detective del
orden ficcional. Lönnrot, que está detrás de una solución “puramente rabínica”,
o al menos “interesante”, ha descubierto que el día hebreo empieza al
anochecer. Como todos los crímenes fueron cometidos de noche, la fecha 3 debe
leerse en realidad como 4. Así, los tres primeros crímenes apuntan en realidad
a uno todavía por cometerse, en el punto sur que completa el rombo de los
puntos cardinales.
El número 4 está también sugerido
por los rombos de la pinturería, y el traje de los arlequines en la tercera de
las muertes (que finalmente, se sabrá, ha sido fraguada) y, sobre todo, por la
palabra Tetragrámaton, que da la
clave de los mensajes, las cuatro letras del Nombre secreto de Dios.
Lönnrot ubica en el plano de
la ciudad el cuarto punto y acude a ese lugar en el sur, la quinta de
Triste-le-Roy. Pero lo que no alcanza a prever es que en realidad la serie es
un laberinto, una trampa que ha preparado su archienemigo Red Scharlach, para
atraerlo hasta allí. Y que la cuarta víctima será él. Llegado el encuentro, hay
algo así como un doble final en que detective y asesino tienen un último
diálogo. En este diálogo Lönnrot dice:
“En su laberinto sobran tres
líneas. Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa
línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro
avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen
en B, a 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y
de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros
de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme
en Triste-le-Roy.”
En un cuaderno de anotaciones
de Borges aparece un diagrama, dibujado por él mismo, con los puntos situados
de acuerdo a esta explicación, que corresponde, por supuesto, a la paradoja de
Zenón de Elea.
Evidentemente Borges pensaba
que si se comete un primer crimen en A, un segundo crimen en B, y un tercer
crimen en C, a mitad de camino entre los dos, el cuarto punto queda determinado
en D, con la misma claridad que los puntos norte, oeste y este apuntan al sur
como cuarto término. Es decir, que la serie A, B, C señala a D, a mitad de
camino entre A y C, como la solución lógica correspondiente que podría inferir
un detective para esta variante en línea recta de la trampa.
Sin embargo, esta segunda serie
no es de ningún modo tan clara. Es muy fácil pensar otras soluciones posibles,
y también perfectamente “razonables” para la serie A, B, C tal como está
planteada. Por ejemplo, puede pensarse que el asesino camina primero 8
kilómetros desde A hasta B para cometer el segundo crimen. Luego retrocede 4
kilómetros para cometer el tercer crimen en C. Y a continuación vuelve a avanzar
2 kilómetros para cometer el cuarto crimen en un punto intermedio entre C y B.
En esta segunda solución, el
movimiento es de avances y retrocesos. En la primera solución el movimiento es únicamente
de regreso al punto A. ¿Por qué una sería preferible a la otra?
En realidad, en la historia principal, lo que
le da “obviedad” al punto ubicado en el sur es una información de contexto: el
hecho de que los tres puntos anteriores corresponden a lugares situados en el
norte, oeste y este. Esta información, recordemos, la suministra el propio
criminal en una carta, junto con un plano que le envía al comisario. Si el
mismo problema se planteara sin esta clave adicional, tendríamos como datos
únicamente la ubicación de tres puntos de la siguiente manera:
Y entonces, visto así el
problema, también aparecen otras continuaciones “razonables” posibles: por
ejemplo, podríamos pensar en un movimiento de rotación alrededor del punto A.
Tenemos entonces que la
continuación de una serie de símbolos lógicos no necesariamente es única. Si
los símbolos están dados de una manera “desnuda”, sin otras claves de contexto,
pueden admitir distintas continuaciones.
Aún así, al comparar soluciones propuestas para una misma serie, algunas
podrían parecernos más nítidas o “naturales”, más precisas, más obvias. Uno
podría suponer: si bien las series lógicas no tienen solución única, quizá sí
pueden diferenciarse las distintas soluciones de acuerdo a criterios estéticos,
o de algún otro tipo. Establecer algo así como la mejor solución, la más
elegante, la más económica, la más elemental, la más evidente. Esto tampoco
puede hacerse. Veamos este ejemplo:
2 4 8 16 ?
Si yo
doy los números 2, 4, 8, 16 y pregunto por el número que debería escribir a
continuación, es muy probable que la contestación inmediata sea 32, y que se
considere un error imperdonable, y hasta risible, que alguien sugiera, por
ejemplo, 31. Sin embargo, pensemos las cosas de este modo:
1. Dibujamos un círculo, fijamos 2 puntos en la
circunferencia y trazamos la línea que une esos puntos. El círculo ha quedado
dividido en dos sectores. Así obtenemos el número 2:
2. Fijamos ahora, sucesivamente, 3, 4, y 5 puntos
en la circunferencia, y trazamos las líneas que unen a cada punto con los
demás. Al contar los sectores obtenemos los números 4, 8, y 16.
Observemos que hasta aquí las
dos series coinciden perfectamente, aunque la regla que utilizamos para obtener
los números es distinta en cada caso. Los que han pensado en la solución 32
utilizaron la regla “multiplicar por dos el número anterior para obtener el
siguiente”. Mientras que la regla que estamos usando ahora para obtener la
serie 2, 4, 8, 16 es “fijar puntos sobre la circunferencia, trazar las líneas
que unen a cada punto con los demás, y contar los sectores en que queda
dividido el círculo”. Veamos qué ocurre en el quinto paso. Fijamos 6 puntos
sobre la circunferencia y, una vez más, trazamos las líneas que unen a cada
punto con los restantes.
Al contar los sectores en que
ha quedado dividido el círculo obtenemos, no el número 32, ¡sino 31!
De manera que 31 es una
continuación también perfectamente razonable para la serie 2, 4, 8, 16. Más
aún, bien mirada, es incluso más “elemental” que la solución 32, que requiere
saber la tabla del 2, algo que los chicos no aprenden hasta segundo grado.
Mientras que cualquier chico a partir de los cuatro años puede en cambio trazar
estas líneas que unen entre sí los puntos y contar los sectores.
Esto muestra que no hay
demasiadas esperanzas de poder diferenciar soluciones de acuerdo a
criterios como economía, elegancia, etcétera.
Algunas consecuencias de esta
discusión
1. Novelas sobre crímenes en
serie:
Hay un largo equívoco,
propagado por innumerables novelas y películas sobre crímenes en serie, según
el cual, si el asesino deja un símbolo junto a cada cadáver, un detective con
la suficiente inteligencia podrá dar con la continuación correcta de la serie y
anticipar el crimen siguiente.
Sin embargo, tal como vimos,
el detective no puede en general aspirar a acertar con la continuación de una serie de crímenes, sino sólo a tener la
suficiente empatía con el modo de pensar del asesino, para coincidir con él en una de las continuaciones posibles. Si
Scharlach no hubiera enviado la carta que señala para las primeras tres muertes
la interpretación de puntos cardinales, Lönnrot no hubiera podido “leer”
unívocamente la continuación del punto sur, del mismo modo que la continuación
D en la que pensaba Borges para la serie sobre la línea recta no queda
unívocamente determinada por los primeros tres puntos.
2. Tests de inteligencia
En alguna época los tests de
inteligencia y de personalidad incluían también series lógicas, en general de
tres símbolos o figuras, que el examinado debía prolongar en un casillero en
blanco. Pero otra vez aquí, lo único que el examinador podría evaluar es el
amoldamiento del examinado a la continuación “media esperable” de acuerdo a
cierta edad, a cierta educación, a cierto medio social, a cierto entrenamiento
previo. En definitiva, se evalúa la coincidencia o desviación del pensamiento
del examinado respecto de la solución prevista a priori como única correcta por
el examinador.
3. Paradoja de Wittgenstein
sobre las reglas finitas
En realidad, el que reflexionó de una forma
más amplia y general sobre este problema de las diferentes continuaciones
posibles de una serie fue Ludwig Wittgenstein en Investigaciones filosóficas y también en Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. En la
formulación quizá más precisa de la paradoja, la establece de este modo:
Nuestra paradoja era ésta: Una regla no podía determinar ningún curso
de acción porque todo curso de acción puede hacerse concordar con la regla.
Es decir, la mera aplicación de una regla no permite inferir cuál es
realmente la regla que se está siguiendo, no importa cuántas veces se haya
aplicado. En efecto, si volvemos al ejemplo de la serie 2, 4, 8, 16, yo puedo
creer que infiero correctamente la regla de “multiplicar por dos el término
anterior” y mi curso de acción será entonces escribir el número 32 como
continuación. Pero en realidad la regla utilizada para obtener estos cuatro
números podría haber sido la de los círculos y sectores, que coincide de manera
parcial con la mía en los primeros cuatro pasos. En general, si obtuvimos un
número n cualquiera de resultados con
una cierta regla R, no podemos inferir de esta aplicación parcial que es
verdaderamente la regla R la que tenemos que usar en el paso siguiente, y no
por ejemplo, otra regla R´ que coincide con la nuestra en esos primeros n resultados, pero difiere en el paso siguiente n + 1.
4. Educación
Pero ¿cómo podemos entonces aprender?
¿Cómo podemos estar seguros si aprendimos o no una regla, cuando la cantidad de
ejemplos que nos pueden dar, o que podamos exhibir en respuesta como prueba de
que verdaderamente entendimos, no permite inferir cuál es en realidad la regla?
Y sin embargo, por otro lado, es un hecho que aprendemos algunas reglas,
a pesar de la paradoja de Wittgenstein. Aprendemos, por ejemplo, la regla de
multiplicar por dos (aunque Wittgenstein logra convencernos de que ni siquiera
podemos estar seguros de que sepamos
verdaderamente multiplicar por dos).
Wittgenstein explica el
aprendizaje de una regla como un juego del lenguaje, es decir un juego que sale
del plano sintáctico donde están escritos los ejemplos, (y que es insuficiente
por sí solo para decidir la interpretación correcta) y pasa al terreno del intercambio
social a través del lenguaje, donde se da a las reglas una interpretación
privilegiada, que tiene que ver con una norma. “Seguir una regla es análogo a
obedecer una orden. Se nos adiestra para ello y se reacciona a ella de
determinada manera.”
La educación en la regla es así
una calibración sucesiva entre alguien que ensaya y una figura de
aprobador-reprobador, que juzga los ensayos de la regla, hasta que se logra una
sincronía lo bastante perdurable, de manera que la regla-norma parece haber sido aprendida, porque la
concordancia se ha puesto a prueba suficiente cantidad de veces.
5. Diferencia entre letra y
espíritu de la ley en la justicia
La letra de la ley conserva la forma en que se ha aplicado la norma
hacia atrás en el pasado, pero la sucesión de ejemplos en que se aplicó la ley no
alcanza para determinar unívocamente la interpretación que debe regir en el
presente, o en el futuro. La sociedad, o los jueces dentro de la sociedad,
pueden reinterpretar la ley de maneras diferentes en cada instancia. Así, el
presente histórico ocupa el rol de aprobador-desaprobador respecto al curso de
acción para la ley escrita hasta ese momento.
6. Búsqueda de una lengua universal
En el libro La búsqueda de la lengua perfecta, de
Umberto Eco, se analizan distintos intentos históricos de crear una lengua que
sea capaz de generar mecánicamente, a partir de la sintaxis, notaciones
inequívocas no sólo para las palabras existentes sino también para las que
puedan surgir en el futuro. En el fondo, lo que está detrás del fracaso de cada
uno de estos intentos es, otra vez, la paradoja de Wittgenstein sobre reglas
finitas; en este caso, la imposibilidad de que la sintaxis de una lengua proporcione
por sí misma una interpretación inequívoca para sus símbolos y reglas, que
permita nombrar a futuro. Un caso particularmente interesante que se menciona
en el libro es el de los lenguajes espaciales, por ejemplo, el diseño de Lincos, una lengua elaborada por el
matemático Hans A. Freudental “para poder interactuar con eventuales habitantes
de otras galaxias”. La idea es lanzar al espacio señales con regularidad, ondas
de distinta duración y longitud, de modo que “al intentar comprender la lógica que
sigue la forma de la expresión que les es trasmitida, los alienígenas deberían
ser capaces de extrapolar una forma del contenido”. En una primera fase
deberían reconocer los números, y luego, con nuevas señales, las operaciones
aritméticas y lógicas básicas. Pero como el propio Eco observa con agudeza,
esto presupone que los habitantes del espacio deberían seguir algunos criterios
lógicos y matemáticos similares a los nuestros, por ejemplo el principio de
identidad, o “el hábito de considerar constante la regla que se ha inferido por
inducción de una multiplicidad de casos”. Otra vez está aquí por detrás la
paradoja de Wittgenstein: aún si recibimos la clase de respuestas esperadas, en
el fondo no podremos estar seguros, por la mera lectura de las señales de respuesta,
si las operaciones o los números que infieren los extraterrestres, coinciden realmente
con nuestros conceptos.
Sintaxis versus interpretación
¿Cuál es el leit motiv que recorre por detrás estos
ejemplos, desde la imposibilidad de fijar una única continuación para una serie
hasta la de transmitir un lenguaje, desde la paradoja de Wittgenstein hasta la
tensión entre letra y espíritu en la aplicación de la ley? En el fondo, todos
los casos que consideramos pueden verse como parte de una cuestión más general,
que es la insuficiencia de la sintaxis respecto de la interpretación: ningún conjunto de operaciones sintácticas,
de reglas escritas, puede dotarse a sí mismo de una interpretación única e
inequívoca.
El matemático esforzado
propone sus series en un lenguaje lo más ceñido
y riguroso posible y el escritor optimista dispone las suyas (las
narraciones son también series en busca de sentido) con metáforas lujosas, con
gradaciones en la trama, con giros dramáticos, en un lenguaje que cree lo suficientemente
expresivo. Pero ni uno ni el otro están a salvo de un Pierre Menard que al
recorrer los símbolos decida interpretar lo mismo como absolutamente distinto.
Reconocimientos
Este artículo es, esencialmente, la
transcripción abreviada de una charla que repetí con variaciones en ámbitos muy
diversos. Algunas de las ideas están contenidas en Una lectura matemática del pensamiento postmoderno, un libro
excelente de Vladimir Tasic, donde leí por primera vez sobre la paradoja de
Wittgenstein. El ejemplo tan ingenioso de los círculos para la serie 2, 4, 8, 16,
31 lo tomé prestado para siempre de una reseña literaria de Marcus Du Sautoy.
Referencias
Borges, Jorge Luis. “La muerte y la brújula” en Ficciones (1944), Obras
completas, vol. 5, Sudamericana, 2011, pp. 123-138.
du Sautoy, Marcus, Murder by numbers, The Guardian, 2005,
Eco, Umberto. La búsqueda de la
lengua perfecta, Crítica, 1999, Capítulo 15, pp. 258-260.
Tasic, Vladimir. Una lectura
matemática del pensamiento postmoderno, Colihue, 2001, Capítulo 9, pp.
183-199.
Wittgenstein, Ludwig.
Investigaciones filosóficas, Crítica, 2004, pp. 199-213.
Wittgenstein, Ludwig. Observaciones
sobre los fundamentos de la matemática, Alianza, 1978, Parte VI, pp.
255-297.
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